V USA žil od roku 1970, presťahoval sa tam zo Západného Nemecka, kam emigroval po invázii armád Varšavskej zmluvy od Československa.
Kaválek spolupracoval s viacerými svetovými šachistami, bol sekundantom Bobbyho Fischera pri víťazstve nad Borisom Spasským v Reykjavíku 1972, trénoval aj Brita Nigela Shorta, ktorý prehral v roku 1993 s Garrym Kasparovom v súboji o titul majstra sveta.