Potom sa Mrázek, ktorý dnes zomrel vo veku 93 rokov, dal na trénerskú dráhu: viedol reprezentáciu na OH v Ríme 1960, najväčšie úspechy dosiahol so Zbrojovkou Brno.
Športovú kariéru začal v roku 1932 ako gymnasta. Na zamrznutom sokolsko cvičisku korčuľoval, jazdil aj na bicykli, úspešne plával a vesloval, hral futbal. K basketbalu sa dostal náhodou počas druhej svetovej vojny, keď bol na sústredení s plaveckým klubom a vedľa organizoval kemp aj brniansky basketbalový zväz.
„Každý večer som sa chodil pozerať na ich tréningy a raz mi povedali: Si vysoký, poď si s nami zahrať,“ spomínal Mrázek na začiatky pod košmi.
S basketbalom pritom začal naozaj neskoro, v 19 rokoch, mal ale prirodzený talent a už po roku si po prvýkrát obliekol reprezentačný dres.
„V tom čase to nebolo nič neobvyklé, pretože všetci robili všetko. Bolo úplne bežné, že hokejisti v lete hrali tenis. Šport za okupácie bol hybnou silou mladých, pretože nebolo čo iné robiť. V tomto prostredí sa nám žilo v úvodzovkách slobodne,“ rozprával pred rokmi hráč, ktorého kôš rozhodol o doteraz najväčšom úspechu československého i českého mužského basketbalu.
Nikdy sa nepovažoval za hviezdu českoslovneského tímu. „Nezaujímali ma osobné štatistiky alebo úspechy. Vôbec neviem, koľko som dal za kariéru košov,“ uviedol.
Ako hráč štartoval Ivo Mrázek aj na dvoch olympijských turnajoch. v Londýne 1948 bol členom tímu, ktorý skončil siedmy, o štyri roky neskôr v Helsinkách dosiahli československí hráči deviatu priečku.
V druhej polovici 50. rokov sa Mrázek začal venovať trénovaniu, do roku 1958 ešte ako hrajúci tréner Zbrojovky Brno. Krátko koučoval aj reprezentáciu, ktorú na olympiáde v Ríme 1960 priviedol k historickému piatemu miestu. Mrázkove najväčšie úspechy sú však spojené so Zbrojovkou.
Brniansky tím priviedol v rokoch 1964 a 1968 dvakrát až do finále Pohára európskych majstrov a úspešná vystúpenia po celej Európe v druhej polovici 60. rokov korunoval Ivo Mrázek o Zbrojovkou v roku 1969 druhým miestom na Interkontinentálnom pohári v Spojených štátoch.
„V šesťdesiatych rokoch bol v Brne basketbal na európskej úrovni, ale chýbala poriadna telocvičňa. Na naše zápasy chodili tisíce ľudí, ktorí sa beznádejne tlačili na seba,“ popisoval s hrdosťou slávnu éru.
S trénovaním skončil v roku 1990, ani potom sa ale na Mrázka nezabudlo. Návrhy na udelenie štátneho vyznamenania síce neuspeli, umiestnil sa ale však treťom mieste v ankete o Českého basketbalistu storočia a dostal ocenenie od brnianskej radnice aj Juhomoravského kraja.
Vlani potom prišiel do kín film Zlatý podraz režiséra Radima Špačka, ktorý sa inšpiroval osudmi reprezentácie z konca 40. rokov a do značnej miery vychádzal z Mrázkovho rozprávania v knihe Nebáli sa svojej odvahy.